В 1985 г. окончил факультет экономики и права Университета дружбы народов им. Патриса Лумумбы. В 1997 г. защитил докторскую диссертацию по теме «Защита меньшинств по международному и внутригосударственному праву».

Является автором более 750 научных работ, в том числе статьей в высокорейтинговых журналах, монографий и учебникоы, посвященных международно-правовой защите прав человека, международному гуманитарному праву, мирному разрешению международных споров, международному экологическому праву, международному морскому праву, европейскому праву и т.д.

Имеет большой опыт чтения лекций как в России, так и за рубежом. Выступал с лекциями в Институте прав человека Норвегии, Академии Або (Финляндия), Институте международных отношений Салоники (Греция), Институте по гуманитарным проблемам в Сан-Ремо, Евразийском национальном университете им. Л.Н. Гумилева (Астана, Казахстан), в Европейском Межуниверситетском Центре по правам человека и демократизации (Венеция, Италия), в Международном институте прав человека им. Рене Кассена (Страсбург, Франция), в Падуанском университете (Падуя, Италия) и др.

При его активном участии была создана магистерская программа «Международная защита прав человека», которая успешно функционирует по настоящее время в рамках Консорциума российских университетов, объединяющего девять вузов-партнеров.

Практическая работа профессора Абашидзе как юриста-международника и дипломата связана с его участием в работе правозащитных органов ООН: с 2001 по 2006 гг. – помощник эксперта Подкомиссии ООН по поощрению и защите прав человека; с марта 2008 года по декабрь 2009 года – член Рабочей группы ООН по произвольным задержаниям; с 2010 – по н.в. член Комитета по экономическим, социальным и культурным правам. За это время он дважды избирался Вице-председателем Комитета.

Практическая деятельность А.Х. Абашидзе связана с его членством в ряде экспертных, научных и правозащитных учреждений. Он является членом Научно-консультативного Совета МИД России, Экспертного совета по праву Высшей аттестационной комиссии при Министерстве образования и науки Российской Федерации, Научно-консультативного совета при Верховном Суде Российской Федерации, Экспертного совета при Уполномоченном по правам человека в Российской Федерации, Российского общественного Совета по международному сотрудничеству и публичной дипломатии при Общественной палате Российской Федерации и др. А.Х. Абашидзе является академиком Российской академии естественных наук.